Factorizacion

La factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.

Factorizar un polinomio

Una factorización de un polinomio de grado n es un producto de como mucho </math> \scriptstyle m \le n factores o polinomios de grado\scriptstyle n_k \le n</ con \scriptstyle 1 \le k \le m</math>. Así por ejemplo el polinomio P(x) de grado 5 se puede factorizar como producto de un polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:

P(x) = x^5-x^3+69x^2-20x+16 = (x^3+4x^2-x+1)(x^2-4x+16)\

Factor Común Monomio

Se trata de extraer de un polinomio, un monomio como factor común a cada uno de los términos del polinomio en cuestión. El procedimiento empieza por extraer el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de los coeficientes del polinomio de esta manera. Ejemplo:

12y^3 x^2 + 30x^5 y^3 - 18m^3 x y^4 

Los coeficientes sin sus respectivos signos son: 12, 30 y 18. El M.C.D. de ellos es 6, luego dividimos cada uno de los coeficientes entre el número 6 por lo tanto se puede expresar que:

Luego debemos identificar que variables o literales poseen en común todos los términos, y observamos que todos los términos cuentan con las variables "x" e "y", excepto "m" que no está en todos. Luego de identificar la variables comunes debemos observar cual es el menor exponente al que esta elevada la variable en los términos en cuestión; y podemos observar que el exponente menor de "x" es 1 y el menor exponente de "y" es 3. Por lo tanto podemos extraer como factor común también a . Para hacerlo debemos dividir cada término entre . Quedando la expresión factorizada de la siguiente forma:

Factorización por Agrupación de Términos

La factorización por agrupación de términos puede utilizarse en polinomios con un número de términos par y mayor o igual a 4. Debe buscarse en este caso de factorización parejas de términos que tengan en común un factor. Ejemplo:

Observamos por ejemplo que podemos agrupar los términos , y  porque poseen en común la "y", y sobran los términos  y  que tienen también en común la "p". Quedando expresado de la siguiente forma:

Luego se saca el factor común de ambos, así:

Luego observamos las expresiones que se encuentran dentro del paréntesis las cuales si las reordenamos según la propiedad conmutativa para suma, obtendremos lo siguiente:

Se observa de nuevo que está en común el factor , luego también puede sacarse como factor común a ambas expresiones o agrupaciones de términos, quedando al final la factorización así:

Expresiones algebraicas

Expresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos.

Coeficiente 3a2 Grado

Parte literal

Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado.

Valor número de una expresión algebraica. Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen.

Clases de expresiones algebraicas:

1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3x2

2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2x2 + 3xy

3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.

Ej: 5x2 + 4y5 - 6x2y

4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.

Polinomio es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:

1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.

2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.

3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.

Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor númerico.

Ejercicios operatorios con los monomios y polinomios

Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3.

Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3 = x3.

Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4

División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3:2x2y= 2x3y2

Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.

Ej: 7x5+0x4+3x3+4x2-2x

5x5+0x4+0x3 -x2 -x

12x5+0x4+3x3+3x2-3x

Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.

Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.

Ej: P(x)= 2x5+3x4-2x3-x2+2x

Q(x)= 2x3

P(x).Q(x)= 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4

División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.

Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.

Ej: 4x4-2x3+6x2-8x-4 2x

-4x4 2x3-x2+3x-4

0-2x3

+2x3

0+6x2

-6x2

0-8x

+8x

0-4

 Igualdades notables

Cuadrado de la suma de dos números: Es igual al cuadrado del primero más doble producto del primero por el segundo más cuadrado del segundo.

Ej: (a+b)2= a2+2ab+b2

Cuadrado de la diferencia de dos números: Cuadrado del primero menos doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Ej: (a-b)2= a2-2ab+b2

Cubo de la suma de dos números: Es igual al cubo del primero más triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero más cubo del segundo.

Ej: (a+b)3= a3+3a2b+3b2a+b3

Cubo de la diferencia de dos números: Es igual al cubo del primero menos triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero menos cubo del segundo.

Ej: (a-b)3= a3-3a2b+3b2-b3

La suma por la diferencia de dos números: Es igual a la diferencia de cuadrados.

Ej: (a+b) (a-b)= a2-b2

Las ecuaciones

Ecuación y función

Ecuación es toda función algebraica igualada a 0 ó a otra igualdad algebraica. A la primera parte de la igualdad se la llama 1ertérmino y a la segunda se la llama 2º término. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo resultado.

Hay distintos tipos de igualdades:

Una igualdad numérica: 2+5=4+3

Una igualdad algebraica: 2x+3x=6x

Una función: 3x+2=y

Una función es una expresión algebraica igualada a y.

2. Resolución de ecuaciones

Para resolver una ecuación, hallaremos el valor de la incógnita, siendo la incógnita el número desconocido, expresado normalmente por x.

Pasos para resolver una ecuación:

1º- Se quitan los paréntesis si los hubiere.

2º- Se quitan los denominadores si los hubiere.

3º- Se pasan todas las incógnitas al 1er miembro de la igualdad.

4º- Se reducen los términos semejantes.

5º- Hallamos el valor de la incógnita.

Ej: 5x-7=28+4x ; 5x-4x=28+7 ; x=35

Ecuaciones con denominadores:

Quitamos los denominadores por el m.c.m. para ello:

1º- Hallamos el m.c.m. de los denominadores.

2º-Ese es el denominador común y lo sustituimos por los denominadores anteriores.

3º- Se divide el m.c.m. entre el denominador antiguo y se multiplica por el denominador.

Ej: x -4 = x -3 ; m.c.m.(2 y 3)=6 ; 3x-24 = 2x-18 ; 3x-2x = -18+24 ; x = 6

• 3

Sistemas de ecuaciones

Si una expresión algebraica la igualamos a otra expresión algebraica y nos encontramos con dos incógnitas necesitamos otra igualdad de expresiones algebraicas para poderla resolver.

Una expresión algebraica con dos incógnitas es lo que llamamos sistema de ecuaciones.

Todo sistema de ecuaciones necesita tantas ecuaciones como incógnitas tenga.

Sistema de ecuaciones con dos incógnitas:

Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar cuatro métodos:

1º- Método de sustitución.

2º- Método de igualación.

3º- Método de reducción o de sumas y restas.

4º- Método gráfico.

Resolver un sistema por el método de sustitución:

1º- Quitamos los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

2º- Quitamos los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2º miembro.

4º- Reducimos los términos semejantes.

5º- Despejamos una incógnita y la sustituimos en la 2ª ecuación.

6º- Resolvemos la ecuación resultante.

Resolver un sistema por el método de igualación:

1º- Quitar los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

2º- Quitar los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2º miembro.

4º- Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.

5º- Igualar las incógnitas despejadas y resolver la ecuación resultante.

Resolver un sistema por el método de reducción o de sumas y restas:

1º- Quitamos los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

2º- Quitamos los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2º miembro.

4º- Igualar los coeficientes de una incógnita y cambiar de signo si son iguales.

5º- Sumar o restar el sistema que ha quedado al multiplicar y resolver la ecuación resultante.

P(x):Q(x)= 2x3-x2+3x-4

R= -4

Logaritmacion

En análisis matemático, usualmente, el logaritmo de un número real positivo —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10³ = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3⁵=243 luego log₃243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por identidades logarítmicas — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

Si los números a y b son positivos, b la base diferente a 1 y a 0. Se dirá que el logaritmo de a en la base b es h si se cumple que

, y se denota 

• Logaritmo puede ser definido de diversas maneras: como exponente, cuando se conocen la base de una potencia y el valor de esta; tal el caso si

, como  resuelve la ecuación, se dice que -4 es el logaritmo de 1/16 en base 2. O bien

.¹ .

Se exige que la base de logaritmos sea un número positivo distinto de 1. Usualmente se ha considerado como base, 10: originando los logaritmos decimales o vulgares. O bien la base, el número e: generando los logaritmos naturales o neperianos.

• Como una función real de variable real. Concretamente, considerando que la función exponencial es una función creciente y continua de dominio ℝ y codominio ℝ⁺, pues tiene función inversa de dominio ℝ⁺, y codominio ℝ, que también es creciente y continua para base mayor que 1.²
• Por integral definida

que se lee logaritmo natural de a, en este caso la base de los logaritmos es el número irracional trascendente e que es el límite de

cuando n tiende a infinito.³

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = log_b x, lo que permite obtener n.⁴

(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)

Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).⁵

Así, en la expresión 10² = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log₁₀ 100=2.

Potenciación

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo.

Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero.

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual a base «a» es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los exponentes respectivos.

ejemplos:

División de Potencias de Igual Base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos (la misma base y se restan los exponentes.

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes -

Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad seguida de tantos ceros como indica la cifra del exponente.

Ejemplos:

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

Fracciones

una fracción, número fraccionario, es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales, denotado ℚ.

De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números)

Numerador y denominado

Las fracciones se componen de: numerador, denominador y línea divisora entre ambos (barra horizontal u oblicua). En una fracción común  el denominador "b" expresa la cantidad de partes iguales que representan la unidad, y el numerador "a" indica cuántas de ellas se toman.

Suma y resta de fracciones

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador

1. Se reducen los denominadores a común denominador:

1.  Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2.  Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

2. Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.





m.c.m.(4, 6) = 12

Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los numeradores.

Por denominador el producto de los denominadores.

División de fracciones

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los extremos.

Por denominador el producto de los medios.

.

.